Algorytmy danych geoprzestrzennych

Jaki kształt ma Ziemia?

Geoida

Geoida

Geoida to model kształtu Ziemi, który przedstawia złożoną, nieregularną powierzchnię, na którą siła grawitacji działa wszędzie prostopadle do powierzchni.

Geoida nie ma matematycznie zdefiniowanego kształtu. Jej kształt wynika z różnic w ziemskim polu grawitacyjnym spowodowanymi zmianami w gęstości i rozkładzie masy Ziemi (np. występowanie gór i dolin).

Źródłem danych zazwyczaj są satelitarne pomiary grawitacyjne (np. misja GRACE).

Matematyczne reprezentacje

Elipsoida

Elipsoida to obiekt geometryczny, w którym wszystkie płaskie przekroje są elipsami lub okręgami. Wszystkie trzy osie mogą mieć różne długości.

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \]

Elipsoida obrotowa (sferoida)

Elipsoida obrotowa to obiekt geometryczny utworzony przez obrót elipsy wokół jednej z jej osi. Jeśli elipsa zostanie obrócona wokół mniejszej osi, to w rezultacie powstanie elipsoida spłaszczona, która przypomina kształtem Ziemię.

Jest to szczególny przypadek elipsoidy, w której dwie z trzech osi są równe.

\[ \frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

Sfera

Sfera to idealnie okrągły obiekt geometryczny, w którym każdy punkt na powierzchni jest w równej odległości od środka. Jest to podstawowe i ogólne przybliżenie kształtu Ziemi, ponieważ nie uwzględnia spłaszczenia na biegunach.

Jest to szczególny przypadek elipsoidy, w której wszystkie trzy osie mają równą długość.

\[ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \]

Obrazowanie Ziemi na mapie

Podstawowy problem

Przedstawienie Ziemi na mapie obejmuje rzutowanie trójwymiarowego kształtu na dwuwymiarową powierzchnię. Ponieważ powierzchnia Ziemi jest zaokrąglona, proces ten wprowadza zniekształcenia związane ze kształtem, powierzchnią, odległością czy kierunkiem.

Odwzorowanie kartograficzne

Odwzorowanie kartograficzne to matematyczna transformacja szerokości i długości geograficznej z powierzchni sfery lub elipsoidy na płaszczyznę.

Przykład

Przykład

Elipsy Tissota

Wnioski

• Przedstawianie Ziemi na mapie to skomplikowany proces wymagający kompromisów.
• Każde odwzorowanie ma swój własny zestaw zniekształceń.
• Różne cele wymagają odmiennych podejść.
• Odwzorowanie jest zawsze przybliżeniem.

Odległość

Odległość euklidesowa

Odległość euklidesowa to miara odległości w linii prostej między dwoma punktami obliczana z następującego równania:

\[ d = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Wynika ona bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa o trójkątach prostokątnych:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

gdzie \(a\) i \(b\) to długość przyprostokątnych, a \(c\) to długość przeciwprostokątnej.

Odległość euklidesowa

Odległość sferyczna

Sferyczne prawo cosinusów

\[ \Delta\sigma = \arccos\left(\sin(\phi_1)\sin(\phi_2) + \cos(\phi_1)\cos(\phi_2)\cos(\lambda_2 - \lambda_1)\right) \]

\[ d = r \times \Delta\sigma, \] gdzie:

\(\Delta\sigma\) to kąt środkowy między punktami na sferze,

\(r\) to średnia długość promienia Ziemi.

Długość cięciwy

Odległość elipsoidalna

Odległość elipsoidalna to najkrótsza odległość między dwoma punktami na powierzchni elipsoidy. Jej obliczenie jest złożonym zadaniem i obejmuje rozwiązanie zestawu równań nieliniowych.

Najczęściej stosowaną metodą jest opracowana przez polsko-amerykańskiego geodetę Thaddeusa Vincenty’ego w 1975 r. Jednak, ograniczeniem mogą być problemy ze zbieżnością w przeciwległych punktach.

W przypadku zastosowań wymagających najwyższej precyzji stosuje się algorytm Karneya (2013 r.) uważany za najdokładniejszą metodę.

Odległość powierzchniowa

Odległość powierzchniowa

points = extract(r, line, xy = TRUE)

total_length = 0
for (i in 2:nrow(points)) {
  p1 = c(points$X[i - 1], points$Y[i - 1], points$Z[i - 1])
  p2 = c(points$X[i], points$Y[i], points$Z[i])
  distance = sqrt(sum((p2 - p1)^2))
  total_length = total_length + distance
}

print(total_length)

Odległość powierzchniowa

Odległość planarna: 280 km

Odległość powierzchniowa: 283 km

Powierzchnia

Rzeczywista wielkość komórek

Precyzja współrzędnych