Obliczenia geodezyjne
Blue Marble 2012, Suomi NPP
Geoida to model kształtu Ziemi, który przedstawia złożoną, nieregularną powierzchnię, na którą siła grawitacji działa wszędzie prostopadle do powierzchni.
Geoida nie ma matematycznie zdefiniowanego kształtu. Jej kształt wynika z różnic w ziemskim polu grawitacyjnym spowodowanymi zmianami w gęstości i rozkładzie masy Ziemi (np. występowanie gór i dolin).
Źródłem danych zazwyczaj są satelitarne pomiary grawitacyjne (np. misja GRACE).
Sfera (góra)
Elipsoida obrotowa (lewo dół)
Elipsoida (prawo dół)
Elipsoida to obiekt geometryczny, w którym wszystkie płaskie przekroje są elipsami lub okręgami. Wszystkie trzy osie mogą mieć różne długości.
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 \]
Elipsoida obrotowa to obiekt geometryczny utworzony przez obrót elipsy wokół jednej z jej osi. Jeśli elipsa zostanie obrócona wokół mniejszej osi, to w rezultacie powstanie elipsoida spłaszczona, która przypomina kształtem Ziemię.
Jest to szczególny przypadek elipsoidy, w której dwie z trzech osi są równe.
\[ \frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
Jeśli:
\(c < a\) – elipsoida spłaszczona
\(c > a\) – elipsoida wydłużona
Sfera to idealnie okrągły obiekt geometryczny, w którym każdy punkt na powierzchni jest w równej odległości od środka. Jest to podstawowe i ogólne przybliżenie kształtu Ziemi, ponieważ nie uwzględnia spłaszczenia na biegunach.
Jest to szczególny przypadek elipsoidy, w której wszystkie trzy osie mają równą długość.
\[ x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \]
Podstawowy problem
Przedstawienie Ziemi na mapie obejmuje rzutowanie trójwymiarowego kształtu na dwuwymiarową powierzchnię. Ponieważ powierzchnia Ziemi jest zaokrąglona, proces ten wprowadza zniekształcenia związane ze kształtem, powierzchnią, odległością czy kierunkiem.
Jakie jest rozwiązanie?
Odwzorowanie kartograficzne to matematyczna transformacja szerokości i długości geograficznej z powierzchni sfery lub elipsoidy na płaszczyznę.
Podstawowe typy odwzorowań:
Odległość euklidesowa: 8116 km
(Odwzorowanie azymutalne równoodległościowe)
Odległość sferyczna: 6855 km
Odległość euklidesowa to miara odległości w linii prostej między dwoma punktami obliczana z następującego równania:
\[ d = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Wynika ona bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa o trójkątach prostokątnych:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
gdzie \(a\) i \(b\) to długość przyprostokątnych, a \(c\) to długość przeciwprostokątnej.
Odległość sferyczna (ortodroma) to najkrótsza odległość między dwoma punktami na powierzchni sfery. Istnieje kilka wzorów do jej obliczenia:
\[ \Delta\sigma = \arccos\left(\sin(\phi_1)\sin(\phi_2) + \cos(\phi_1)\cos(\phi_2)\cos(\lambda_2 - \lambda_1)\right) \]
\[ d = r \times \Delta\sigma, \] gdzie:
\(\Delta\sigma\) to kąt środkowy między punktami na sferze,
\(r\) to średnia długość promienia Ziemi.
\[ \Delta{x} = \cos(\phi_2)\cos(\lambda_2) - \cos(\phi_1)\cos(\lambda_1) \]
\[ \Delta{y} = \cos(\phi_2)\sin(\lambda_2) - \cos(\phi_1)\sin(\lambda_1) \]
\[ \Delta{z} = \sin(\phi_2) - \sin(\phi_1) \]
\[ \Delta\sigma_\text{c} = \sqrt{(\Delta{x})^2 + (\Delta{y})^2 + (\Delta{z})^2} \] \[ d = 2 r \arcsin \frac{\Delta\sigma_\text{c}}{2}, \]
gdzie:
\(\Delta\sigma_\text{c}\) to długość cięciwy koła wielkiego.
Odległość elipsoidalna to najkrótsza odległość między dwoma punktami na powierzchni elipsoidy. Jej obliczenie jest złożonym zadaniem i obejmuje rozwiązanie zestawu równań nieliniowych.
Najczęściej stosowaną metodą jest opracowana przez polsko-amerykańskiego geodetę Thaddeusa Vincenty’ego w 1975 r. Jednak, ograniczeniem mogą być problemy ze zbieżnością w przeciwległych punktach.
W przypadku zastosowań wymagających najwyższej precyzji stosuje się algorytm Karneya (2013 r.) uważany za najdokładniejszą metodę.
Odległość powierzchniowa to rzeczywista odległość mierzona wzdłuż powierzchni terenu, uwzględniająca zmiany wysokości i nierówności powierzchni. Inaczej nazywana jest pomiarem 3D (topograficznym). Do wyliczenia niezbędny jest numeryczny model terenu.
Odległość planarna: 280 km
Odległość powierzchniowa: 283 km